Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1297 / 1295
↖ ↑ ↗
← S 42.940339°
E 47.988281°		 ← 14.309 km → S 42.940339°
E 48.164062°		 →
↑
14.294 km
↓
↑
14.294 km
↓
S 43.068888°
E 47.988281°		 ← 14.279 km →
204.317 km²		 S 43.068888°
E 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633544921875 y=0.632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633544921875 × 211)
    floor (0.633544921875 × 2048)
    floor (1297.5)     		tx = 1297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632568359375 × 211)
    floor (0.632568359375 × 2048)
    floor (1295.5)     		ty = 1295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1297 / 1295 ti = "11/1297/1295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1297/1295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1297 ÷ 211
    1297 ÷ 2048     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1295 ÷ 211
    1295 ÷ 2048     		y = 0.63232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831417587010254))-π/2
    2×atan(0.43543158644252)-π/2
    2×0.41067301263106-π/2
    0.821346025262119-1.57079632675     		φ = -0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1297 KachelY 1295 0.83755351 -0.74945030 47.988281 -42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 1298 KachelY 1295 0.84062147 -0.74945030 48.164062 -42.940339
    Unten links KachelX 1297 KachelY + 1 1296 0.83755351 -0.75169390 47.988281 -43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 1298 KachelY + 1 1296 0.84062147 -0.75169390 48.164062 -43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74945030--0.75169390) × R
    0.00224360000000001 × 6371000     		dl = 14293.9756000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74945030--0.75169390) × R
    0.00224360000000001 × 6371000     		dr = 14293.9756000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.84062147) × cos(-0.74945030) × R
    0.00306795999999998 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 14308.8926454677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.84062147) × cos(-0.75169390) × R
    0.00306795999999998 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 14278.9821596897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74945030)-sin(-0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.730533191814215)×R²
    abs(0.84062147-0.83755351)×0.00153026331987738×R²
    0.00306795999999998×0.00153026331987738×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153026331987738×40589641000000     		ar = 204317278.167086m²