Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1298 / 1810
↖ ↑ ↗
← S 79.749932°
E 48.164062°		 ← 3 478.10 m → S 79.749932°
E 48.339844°		 →
↑
3 472.90 m
↓
↑
3 472.90 m
↓
S 79.781164°
E 48.164062°		 ← 3 467.62 m →
12 060 881 m²		 S 79.781164°
E 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634033203125 y=0.884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634033203125 × 211)
    floor (0.634033203125 × 2048)
    floor (1298.5)     		tx = 1298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884033203125 × 211)
    floor (0.884033203125 × 2048)
    floor (1810.5)     		ty = 1810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1298 / 1810 ti = "11/1298/1810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1298/1810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1298 ÷ 211
    1298 ÷ 2048     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1810 ÷ 211
    1810 ÷ 2048     		y = 0.8837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    -0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4114177984873))-π/2
    2×atan(0.089688044812041)-π/2
    2×0.0894487169274638-π/2
    0.178897433854928-1.57079632675     		φ = -1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1298 KachelY 1810 0.84062147 -1.39189889 48.164062 -79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 1299 KachelY 1810 0.84368943 -1.39189889 48.339844 -79.749932
    Unten links KachelX 1298 KachelY + 1 1811 0.84062147 -1.39244400 48.164062 -79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 1299 KachelY + 1 1811 0.84368943 -1.39244400 48.339844 -79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39189889--1.39244400) × R
    0.000545110000000015 × 6371000     		dl = 3472.8958100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39189889--1.39244400) × R
    0.000545110000000015 × 6371000     		dr = 3472.8958100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84368943) × cos(-1.39189889) × R
    0.00306795999999998 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 3478.10262280877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84368943) × cos(-1.39244400) × R
    0.00306795999999998 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 3467.61744506723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39189889)-sin(-1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.177408278251583)×R²
    abs(0.84368943-0.84062147)×0.000536436720531303×R²
    0.00306795999999998×0.000536436720531303×6371000²
    0.00306795999999998×0.000536436720531303×40589641000000     		ar = 12060881.3592411m²