Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1300 / 788
↖ ↑ ↗
← N 38.272689°
E 48.515625°		 ← 15.345 km → N 38.272689°
E 48.691406°		 →
↑
15.360 km
↓
↑
15.360 km
↓
N 38.134557°
E 48.515625°		 ← 15.374 km →
235.917 km²		 N 38.134557°
E 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635009765625 y=0.385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635009765625 × 211)
    floor (0.635009765625 × 2048)
    floor (1300.5)     		tx = 1300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.385009765625 × 211)
    floor (0.385009765625 × 2048)
    floor (788.5)     		ty = 788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1300 / 788 ti = "11/1300/788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1300/788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1300 ÷ 211
    1300 ÷ 2048     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 788 ÷ 211
    788 ÷ 2048     		y = 0.384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.384765625 × 2 - 1) × π
    0.23046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.724038931861328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.724038931861328))-π/2
    2×atan(2.06274770593245)-π/2
    2×1.1193903776609-π/2
    2.23878075532181-1.57079632675     		φ = 0.66798443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.66798443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.272689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1300 KachelY 788 0.84675739 0.66798443 48.515625 38.272689
    Oben rechts KachelX + 1 1301 KachelY 788 0.84982536 0.66798443 48.691406 38.272689
    Unten links KachelX 1300 KachelY + 1 789 0.84675739 0.66557357 48.515625 38.134557
    Unten rechts KachelX + 1 1301 KachelY + 1 789 0.84982536 0.66557357 48.691406 38.134557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.66798443-0.66557357) × R
    0.00241086000000001 × 6371000     		dl = 15359.5890600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.66798443-0.66557357) × R
    0.00241086000000001 × 6371000     		dr = 15359.5890600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84982536) × cos(0.66798443) × R
    0.00306796999999992 × 0.785071713613263 × 6371000     		do = 15345.0406598785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84982536) × cos(0.66557357) × R
    0.00306796999999992 × 0.786562729100136 × 6371000     		du = 15374.1841035587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.66798443)-sin(0.66557357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785071713613263-0.786562729100136)×R²
    abs(0.84982536-0.84675739)×0.00149101548687336×R²
    0.00306796999999992×0.00149101548687336×6371000²
    0.00306796999999992×0.00149101548687336×40589641000000     		ar = 235917448.571616m²