Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1303 / 249
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
E 49.042969°		 ← 3 595.48 m → N 79.400084°
E 49.218750°		 →
↑
3 600.89 m
↓
↑
3 600.89 m
↓
N 79.367701°
E 49.042969°		 ← 3 606.34 m →
12 966 475 m²		 N 79.367701°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636474609375 y=0.121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636474609375 × 211)
    floor (0.636474609375 × 2048)
    floor (1303.5)     		tx = 1303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121826171875 × 211)
    floor (0.121826171875 × 2048)
    floor (249.5)     		ty = 249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1303 / 249 ti = "11/1303/249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1303/249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1303 ÷ 211
    1303 ÷ 2048     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 249 ÷ 211
    249 ÷ 2048     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1303 KachelY 249 0.85596128 1.38579290 49.042969 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 1304 KachelY 249 0.85902924 1.38579290 49.218750 79.400084
    Unten links KachelX 1303 KachelY + 1 250 0.85596128 1.38522770 49.042969 79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 1304 KachelY + 1 250 0.85902924 1.38522770 49.218750 79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38522770) × R
    0.000565200000000043 × 6371000     		dl = 3600.88920000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38522770) × R
    0.000565200000000043 × 6371000     		dr = 3600.88920000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85902924) × cos(1.38579290) × R
    0.00306795999999998 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 3595.47984430344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85902924) × cos(1.38522770) × R
    0.00306795999999998 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 3606.33813670943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.184505427649398)×R²
    abs(0.85902924-0.85596128)×0.00055552580150911×R²
    0.00306795999999998×0.00055552580150911×6371000²
    0.00306795999999998×0.00055552580150911×40589641000000     		ar = 12966474.6392745m²