Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13056 / 29440
↖ ↑ ↗
← S 80.647035°
W 36.562500°		 ← 198.54 m → S 80.647035°
W 36.551514°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 80.648820°
W 36.562500°		 ← 198.50 m →
39 410 m²		 S 80.648820°
W 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398452758789062 y=0.898452758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398452758789062 × 215)
    floor (0.398452758789062 × 32768)
    floor (13056.5)     		tx = 13056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898452758789062 × 215)
    floor (0.898452758789062 × 32768)
    floor (29440.5)     		ty = 29440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13056 / 29440 ti = "15/13056/29440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13056/29440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13056 ÷ 215
    13056 ÷ 32768     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29440 ÷ 215
    29440 ÷ 32768     		y = 0.8984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8984375 × 2 - 1) × π
    -0.796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50345664575781))-π/2
    2×atan(0.0818017496892705)-π/2
    2×0.0816200192470943-π/2
    0.163240038494189-1.57079632675     		φ = -1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13056 KachelY 29440 -0.63813601 -1.40755629 -36.562500 -80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 13057 KachelY 29440 -0.63794426 -1.40755629 -36.551514 -80.647035
    Unten links KachelX 13056 KachelY + 1 29441 -0.63813601 -1.40758745 -36.562500 -80.648820
    Unten rechts KachelX + 1 13057 KachelY + 1 29441 -0.63794426 -1.40758745 -36.551514 -80.648820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40755629--1.40758745) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40755629--1.40758745) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63794426) × cos(-1.40755629) × R
    0.000191749999999935 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 198.53594572326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63794426) × cos(-1.40758745) × R
    0.000191749999999935 × 0.162485271658248 × 6371000     		du = 198.498385404561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40755629)-sin(-1.40758745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162485271658248)×R²
    abs(-0.63794426--0.63813601)×3.07458349092793e-05×R²
    0.000191749999999935×3.07458349092793e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.07458349092793e-05×40589641000000     		ar = 39409.6991767027m²