Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13056 / 3840
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E106.875000°		 ← 889.23 m → N 68.656555°
E106.896972°		 →
↑
889.39 m
↓
↑
889.39 m
↓
N 68.648557°
E106.875000°		 ← 889.54 m →
791 012 m²		 N 68.648557°
E106.896972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796905517578125 y=0.234405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796905517578125 × 214)
    floor (0.796905517578125 × 16384)
    floor (13056.5)     		tx = 13056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234405517578125 × 214)
    floor (0.234405517578125 × 16384)
    floor (3840.5)     		ty = 3840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13056 / 3840 ti = "14/13056/3840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13056/3840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13056 ÷ 214
    13056 ÷ 16384     		x = 0.796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3840 ÷ 214
    3840 ÷ 16384     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796875 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Λ = 1.86532064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86532064} λ = 1.86532064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86532064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13056 KachelY 3840 1.86532064 1.19828294 106.875000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 13057 KachelY 3840 1.86570413 1.19828294 106.896972 68.656555
    Unten links KachelX 13056 KachelY + 1 3841 1.86532064 1.19814334 106.875000 68.648557
    Unten rechts KachelX + 1 13057 KachelY + 1 3841 1.86570413 1.19814334 106.896972 68.648557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19814334) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dl = 889.391600000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19814334) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dr = 889.391600000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86532064-1.86570413) × cos(1.19828294) × R
    0.000383489999999931 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 889.226558402689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86532064-1.86570413) × cos(1.19814334) × R
    0.000383489999999931 × 0.364087608614637 × 6371000     		du = 889.544230222853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19814334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.364087608614637)×R²
    abs(1.86570413-1.86532064)×0.00013002206005952×R²
    0.000383489999999931×0.00013002206005952×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013002206005952×40589641000000     		ar = 791011.900149608m²