Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13058 / 20226
↖ ↑ ↗
← S 38.839708°
W 36.540527°		 ← 951.54 m → S 38.839708°
W 36.529541°		 →
↑
951.45 m
↓
↑
951.45 m
↓
S 38.848264°
W 36.540527°		 ← 951.42 m →
905 283 m²		 S 38.848264°
W 36.529541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398513793945312 y=0.617263793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398513793945312 × 215)
    floor (0.398513793945312 × 32768)
    floor (13058.5)     		tx = 13058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617263793945312 × 215)
    floor (0.617263793945312 × 32768)
    floor (20226.5)     		ty = 20226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13058 / 20226 ti = "15/13058/20226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13058/20226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13058 ÷ 215
    13058 ÷ 32768     		x = 0.39849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20226 ÷ 215
    20226 ÷ 32768     		y = 0.61724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.736694273361023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63775251} λ = -0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736694273361023))-π/2
    2×atan(0.4786937334859)-π/2
    2×0.446457774221513-π/2
    0.892915548443025-1.57079632675     		φ = -0.67788078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67788078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.839708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13058 KachelY 20226 -0.63775251 -0.67788078 -36.540527 -38.839708
    Oben rechts KachelX + 1 13059 KachelY 20226 -0.63756076 -0.67788078 -36.529541 -38.839708
    Unten links KachelX 13058 KachelY + 1 20227 -0.63775251 -0.67803012 -36.540527 -38.848264
    Unten rechts KachelX + 1 13059 KachelY + 1 20227 -0.63756076 -0.67803012 -36.529541 -38.848264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67788078--0.67803012) × R
    0.000149339999999998 × 6371000     		dl = 951.445139999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67788078--0.67803012) × R
    0.000149339999999998 × 6371000     		dr = 951.445139999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63775251--0.63756076) × cos(-0.67788078) × R
    0.000191750000000046 × 0.778903522430651 × 6371000     		do = 951.539114964767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63775251--0.63756076) × cos(-0.67803012) × R
    0.000191750000000046 × 0.77880985609532 × 6371000     		du = 951.424688493123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67788078)-sin(-0.67803012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778903522430651-0.77880985609532)×R²
    abs(-0.63756076--0.63775251)×9.3666335331033e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3666335331033e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3666335331033e-05×40589641000000     		ar = 905282.832880502m²