Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13072 / 20240
↖ ↑ ↗
← S 38.959409°
W 36.386719°		 ← 949.94 m → S 38.959409°
W 36.375733°		 →
↑
949.85 m
↓
↑
949.85 m
↓
S 38.967951°
W 36.386719°		 ← 949.82 m →
902 245 m²		 S 38.967951°
W 36.375733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398941040039062 y=0.617691040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398941040039062 × 215)
    floor (0.398941040039062 × 32768)
    floor (13072.5)     		tx = 13072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617691040039062 × 215)
    floor (0.617691040039062 × 32768)
    floor (20240.5)     		ty = 20240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13072 / 20240 ti = "15/13072/20240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13072/20240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13072 ÷ 215
    13072 ÷ 32768     		x = 0.39892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20240 ÷ 215
    20240 ÷ 32768     		y = 0.61767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.739378739739746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63506805} λ = -0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739378739739746))-π/2
    2×atan(0.477410419529904)-π/2
    2×0.445413184376288-π/2
    0.890826368752575-1.57079632675     		φ = -0.67996996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67996996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.959409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13072 KachelY 20240 -0.63506805 -0.67996996 -36.386719 -38.959409
    Oben rechts KachelX + 1 13073 KachelY 20240 -0.63487630 -0.67996996 -36.375733 -38.959409
    Unten links KachelX 13072 KachelY + 1 20241 -0.63506805 -0.68011905 -36.386719 -38.967951
    Unten rechts KachelX + 1 13073 KachelY + 1 20241 -0.63487630 -0.68011905 -36.375733 -38.967951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67996996--0.68011905) × R
    0.000149089999999963 × 6371000     		dl = 949.852389999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67996996--0.68011905) × R
    0.000149089999999963 × 6371000     		dr = 949.852389999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63506805--0.63487630) × cos(-0.67996996) × R
    0.000191750000000046 × 0.777591607342525 × 6371000     		do = 949.936428000445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63506805--0.63487630) × cos(-0.68011905) × R
    0.000191750000000046 × 0.777497855431364 × 6371000     		du = 949.821896986008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67996996)-sin(-0.68011905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777591607342525-0.777497855431364)×R²
    abs(-0.63487630--0.63506805)×9.37519111608998e-05×R²
    0.000191750000000046×9.37519111608998e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.37519111608998e-05×40589641000000     		ar = 902244.994376874m²