Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 131 / 83
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  4.218750°		 ← 93.382 km → N 53.330873°
E  5.625000°		 →
↑
94.304 km
↓
↑
94.304 km
↓
N 52.482780°
E  4.218750°		 ← 95.228 km →
8 893.45 km²		 N 52.482780°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513671875 y=0.326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513671875 × 28)
    floor (0.513671875 × 256)
    floor (131.5)     		tx = 131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326171875 × 28)
    floor (0.326171875 × 256)
    floor (83.5)     		ty = 83
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 131 / 83 ti = "8/131/83"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/131/83.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 131 ÷ 28
    131 ÷ 256     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83 ÷ 28
    83 ÷ 256     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 131 KachelY 83 0.07363108 0.93079933 4.218750 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 132 KachelY 83 0.09817477 0.93079933 5.625000 53.330873
    Unten links KachelX 131 KachelY + 1 84 0.07363108 0.91599732 4.218750 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 132 KachelY + 1 84 0.09817477 0.91599732 5.625000 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.91599732) × R
    0.01480201 × 6371000     		dl = 94303.6057100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.91599732) × R
    0.01480201 × 6371000     		dr = 94303.6057100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.93079933) × R
    0.02454369 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 93381.7899240943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.91599732) × R
    0.02454369 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 95227.9940436227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.608999833781129)×R²
    abs(0.09817477-0.07363108)×0.0118068012795035×R²
    0.02454369×0.0118068012795035×6371000²
    0.02454369×0.0118068012795035×40589641000000     		ar = 8893453730.0351m²