Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1312 / 1760
S 78.061989°
E 50.625000°
← 4 043.16 m → S 78.061989°
E 50.800782°

4 037.11 m

4 037.11 m
S 78.098296°
E 50.625000°
← 4 031.04 m →
16 298 235 m²
S 78.098296°
E 50.800782°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640869140625 y=0.859619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)
    tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.859619140625 × 211)
    floor (0.859619140625 × 2048)
    floor (1760.5)
    ty = 1760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1312 / 1760 ti = "11/1312/1760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1312/1760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048
    x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1760 ÷ 211
    1760 ÷ 2048
    y = 0.859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535
    Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.859375 × 2 - 1) × π
    -0.71875 × 3.1415926535
    Φ = -2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.25801971970313))-π/2
    2×atan(0.104557332704558)-π/2
    2×0.104178797422412-π/2
    0.208357594844824-1.57079632675
    φ = -1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 1760 0.88357293 -1.36243873 50.625000 -78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 1760 0.88664090 -1.36243873 50.800782 -78.061989
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 1761 0.88357293 -1.36307240 50.625000 -78.098296
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 1761 0.88664090 -1.36307240 50.800782 -78.098296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.36243873--1.36307240) × R
    0.000633670000000031 × 6371000
    dl = 4037.1115700002m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.36243873--1.36307240) × R
    0.000633670000000031 × 6371000
    dr = 4037.1115700002m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.36243873) × R
    0.00306796999999992 × 0.206853298300232 × 6371000
    do = 4043.16219525735m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.36307240) × R
    0.00306796999999992 × 0.206233291845377 × 6371000
    du = 4031.0435262311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.36243873)-sin(-1.36307240))×
    abs(λ12)×abs(0.206853298300232-0.206233291845377)×
    abs(0.88664090-0.88357293)×0.000620006454855465×
    0.00306796999999992×0.000620006454855465×6371000²
    0.00306796999999992×0.000620006454855465×40589641000000
    ar = 16298235.2137622m²