Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1312 / 1824
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
E 50.625000°		 ← 3 334.08 m → S 80.178713°
E 50.800782°		 →
↑
3 329.04 m
↓
↑
3 329.04 m
↓
S 80.208652°
E 50.625000°		 ← 3 324.01 m →
11 082 518 m²		 S 80.208652°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640869140625 y=0.890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)     		tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.890869140625 × 211)
    floor (0.890869140625 × 2048)
    floor (1824.5)     		ty = 1824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1312 / 1824 ti = "11/1312/1824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1312/1824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1824 ÷ 211
    1824 ÷ 2048     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 1824 0.88357293 -1.39938254 50.625000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 1824 0.88664090 -1.39938254 50.800782 -80.178713
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 1825 0.88357293 -1.39990507 50.625000 -80.208652
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 1825 0.88664090 -1.39990507 50.800782 -80.208652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.39990507) × R
    0.000522530000000021 × 6371000     		dl = 3329.03863000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.39990507) × R
    0.000522530000000021 × 6371000     		dr = 3329.03863000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.39938254) × R
    0.00306796999999992 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 3334.07669798944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.39990507) × R
    0.00306796999999992 × 0.170060690877121 × 6371000     		du = 3324.0125340218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.39990507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.170060690877121)×R²
    abs(0.88664090-0.88357293)×0.000514895374166158×R²
    0.00306796999999992×0.000514895374166158×6371000²
    0.00306796999999992×0.000514895374166158×40589641000000     		ar = 11082518.3798473m²