Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1312 / 1825
↖ ↑ ↗
← S 80.208652°
E 50.625000°		 ← 3 324.01 m → S 80.208652°
E 50.800782°		 →
↑
3 318.97 m
↓
↑
3 318.97 m
↓
S 80.238500°
E 50.625000°		 ← 3 313.98 m →
11 015 654 m²		 S 80.238500°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640869140625 y=0.891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)     		tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891357421875 × 211)
    floor (0.891357421875 × 2048)
    floor (1825.5)     		ty = 1825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1312 / 1825 ti = "11/1312/1825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1312/1825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1825 ÷ 211
    1825 ÷ 2048     		y = 0.89111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89111328125 × 2 - 1) × π
    -0.7822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.45743722212256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45743722212256))-π/2
    2×atan(0.0856541825705823)-π/2
    2×0.0854456285829976-π/2
    0.170891257165995-1.57079632675     		φ = -1.39990507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39990507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.208652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 1825 0.88357293 -1.39990507 50.625000 -80.208652
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 1825 0.88664090 -1.39990507 50.800782 -80.208652
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 1826 0.88357293 -1.40042602 50.625000 -80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 1826 0.88664090 -1.40042602 50.800782 -80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39990507--1.40042602) × R
    0.000520950000000076 × 6371000     		dl = 3318.97245000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39990507--1.40042602) × R
    0.000520950000000076 × 6371000     		dr = 3318.97245000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.39990507) × R
    0.00306796999999992 × 0.170060690877121 × 6371000     		do = 3324.0125340218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(-1.40042602) × R
    0.00306796999999992 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 3313.97789809742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39990507)-sin(-1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170060690877121-0.169547306195044)×R²
    abs(0.88664090-0.88357293)×0.000513384682077622×R²
    0.00306796999999992×0.000513384682077622×6371000²
    0.00306796999999992×0.000513384682077622×40589641000000     		ar = 11015653.9329159m²