Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1312 / 287
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
E 50.625000°		 ← 4 031.04 m → N 78.098296°
E 50.800782°		 →
↑
4 037.11 m
↓
↑
4 037.11 m
↓
N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 4 043.16 m →
16 298 235 m²		 N 78.061989°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640869140625 y=0.140380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640869140625 × 211)
    floor (0.640869140625 × 2048)
    floor (1312.5)     		tx = 1312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140380859375 × 211)
    floor (0.140380859375 × 2048)
    floor (287.5)     		ty = 287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1312 / 287 ti = "11/1312/287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1312/287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1312 ÷ 211
    1312 ÷ 2048     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 287 ÷ 211
    287 ÷ 2048     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1312 KachelY 287 0.88357293 1.36307240 50.625000 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 1313 KachelY 287 0.88664090 1.36307240 50.800782 78.098296
    Unten links KachelX 1312 KachelY + 1 288 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 1313 KachelY + 1 288 0.88664090 1.36243873 50.800782 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36243873) × R
    0.000633670000000031 × 6371000     		dl = 4037.1115700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36243873) × R
    0.000633670000000031 × 6371000     		dr = 4037.1115700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(1.36307240) × R
    0.00306796999999992 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 4031.0435262311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88664090) × cos(1.36243873) × R
    0.00306796999999992 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 4043.16219525735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206853298300232)×R²
    abs(0.88664090-0.88357293)×0.000620006454855465×R²
    0.00306796999999992×0.000620006454855465×6371000²
    0.00306796999999992×0.000620006454855465×40589641000000     		ar = 16298235.2137622m²