Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1314 / 1826
↖ ↑ ↗
← S 80.238500°
E 50.976563°		 ← 3 313.97 m → S 80.238500°
E 51.152344°		 →
↑
3 308.97 m
↓
↑
3 308.97 m
↓
S 80.268259°
E 50.976563°		 ← 3 303.96 m →
10 949 264 m²		 S 80.268259°
E 51.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641845703125 y=0.891845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641845703125 × 211)
    floor (0.641845703125 × 2048)
    floor (1314.5)     		tx = 1314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891845703125 × 211)
    floor (0.891845703125 × 2048)
    floor (1826.5)     		ty = 1826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1314 / 1826 ti = "11/1314/1826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1314/1826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1314 ÷ 211
    1314 ÷ 2048     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1826 ÷ 211
    1826 ÷ 2048     		y = 0.8916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    -0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46050518369824))-π/2
    2×atan(0.085391801522948)-π/2
    2×0.0851851527048376-π/2
    0.170370305409675-1.57079632675     		φ = -1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1314 KachelY 1826 0.88970886 -1.40042602 50.976563 -80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 1315 KachelY 1826 0.89277682 -1.40042602 51.152344 -80.238500
    Unten links KachelX 1314 KachelY + 1 1827 0.88970886 -1.40094540 50.976563 -80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 1315 KachelY + 1 1827 0.89277682 -1.40094540 51.152344 -80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40042602--1.40094540) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dl = 3308.96997999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40042602--1.40094540) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dr = 3308.96997999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89277682) × cos(-1.40042602) × R
    0.00306795999999998 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 3313.96709623861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89277682) × cos(-1.40094540) × R
    0.00306795999999998 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 3303.96183924082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40042602)-sin(-1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.169035422907582)×R²
    abs(0.89277682-0.88970886)×0.000511883287462239×R²
    0.00306795999999998×0.000511883287462239×6371000²
    0.00306795999999998×0.000511883287462239×40589641000000     		ar = 10949264.3347678m²