Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1316 / 284
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 51.328125°		 ← 3 994.88 m → N 78.206563°
E 51.503906°		 →
↑
4 000.86 m
↓
↑
4 000.86 m
↓
N 78.170582°
E 51.328125°		 ← 4 006.90 m →
16 007 004 m²		 N 78.170582°
E 51.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642822265625 y=0.138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642822265625 × 211)
    floor (0.642822265625 × 2048)
    floor (1316.5)     		tx = 1316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138916015625 × 211)
    floor (0.138916015625 × 2048)
    floor (284.5)     		ty = 284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1316 / 284 ti = "11/1316/284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1316/284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1316 ÷ 211
    1316 ÷ 2048     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 284 ÷ 211
    284 ÷ 2048     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1316 KachelY 284 0.89584478 1.36496202 51.328125 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 1317 KachelY 284 0.89891274 1.36496202 51.503906 78.206563
    Unten links KachelX 1316 KachelY + 1 285 0.89584478 1.36433404 51.328125 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 1317 KachelY + 1 285 0.89891274 1.36433404 51.503906 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36433404) × R
    0.000627980000000194 × 6371000     		dl = 4000.86058000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36433404) × R
    0.000627980000000194 × 6371000     		dr = 4000.86058000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89891274) × cos(1.36496202) × R
    0.00306795999999998 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 3994.88273571837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89891274) × cos(1.36433404) × R
    0.00306795999999998 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 4006.89732306466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204998609701595)×R²
    abs(0.89891274-0.89584478)×0.00061468350784763×R²
    0.00306795999999998×0.00061468350784763×6371000²
    0.00306795999999998×0.00061468350784763×40589641000000     		ar = 16007003.7295676m²