Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1316 / 292
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
E 51.328125°		 ← 4 091.97 m → N 77.915669°
E 51.503906°		 →
↑
4 098.08 m
↓
↑
4 098.08 m
↓
N 77.878814°
E 51.328125°		 ← 4 104.27 m →
16 794 427 m²		 N 77.878814°
E 51.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642822265625 y=0.142822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642822265625 × 211)
    floor (0.642822265625 × 2048)
    floor (1316.5)     		tx = 1316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142822265625 × 211)
    floor (0.142822265625 × 2048)
    floor (292.5)     		ty = 292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1316 / 292 ti = "11/1316/292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1316/292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1316 ÷ 211
    1316 ÷ 2048     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 292 ÷ 211
    292 ÷ 2048     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1316 KachelY 292 0.89584478 1.35988496 51.328125 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 1317 KachelY 292 0.89891274 1.35988496 51.503906 77.915669
    Unten links KachelX 1316 KachelY + 1 293 0.89584478 1.35924172 51.328125 77.878814
    Unten rechts KachelX + 1 1317 KachelY + 1 293 0.89891274 1.35924172 51.503906 77.878814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35924172) × R
    0.000643240000000045 × 6371000     		dl = 4098.08204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35924172) × R
    0.000643240000000045 × 6371000     		dr = 4098.08204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89891274) × cos(1.35988496) × R
    0.00306795999999998 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 4091.97211626961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89891274) × cos(1.35924172) × R
    0.00306795999999998 × 0.209980100836179 × 6371000     		du = 4104.26541507802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35924172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.209980100836179)×R²
    abs(0.89891274-0.89584478)×0.000628942785696918×R²
    0.00306795999999998×0.000628942785696918×6371000²
    0.00306795999999998×0.000628942785696918×40589641000000     		ar = 16794427.4904706m²