Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1320 / 1832
↖ ↑ ↗
← S 80.415708°
E 52.031250°		 ← 3 254.37 m → S 80.415708°
E 52.207031°		 →
↑
3 249.40 m
↓
↑
3 249.40 m
↓
S 80.444930°
E 52.031250°		 ← 3 244.54 m →
10 558 795 m²		 S 80.444930°
E 52.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644775390625 y=0.894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644775390625 × 211)
    floor (0.644775390625 × 2048)
    floor (1320.5)     		tx = 1320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894775390625 × 211)
    floor (0.894775390625 × 2048)
    floor (1832.5)     		ty = 1832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1320 / 1832 ti = "11/1320/1832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1320/1832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1320 ÷ 211
    1320 ÷ 2048     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1832 ÷ 211
    1832 ÷ 2048     		y = 0.89453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89453125 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47891295315234))-π/2
    2×atan(0.0838343078979861)-π/2
    2×0.0836387307887637-π/2
    0.167277461577527-1.57079632675     		φ = -1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1320 KachelY 1832 0.90811663 -1.40351887 52.031250 -80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 1321 KachelY 1832 0.91118459 -1.40351887 52.207031 -80.415708
    Unten links KachelX 1320 KachelY + 1 1833 0.90811663 -1.40402890 52.031250 -80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 1321 KachelY + 1 1833 0.91118459 -1.40402890 52.207031 -80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40351887--1.40402890) × R
    0.000510029999999828 × 6371000     		dl = 3249.40112999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40351887--1.40402890) × R
    0.000510029999999828 × 6371000     		dr = 3249.40112999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.91118459) × cos(-1.40351887) × R
    0.00306795999999998 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 3254.37380998806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.91118459) × cos(-1.40402890) × R
    0.00306795999999998 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 3244.54350499296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40351887)-sin(-1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.165995495769574)×R²
    abs(0.91118459-0.90811663)×0.000502932492265074×R²
    0.00306795999999998×0.000502932492265074×6371000²
    0.00306795999999998×0.000502932492265074×40589641000000     		ar = 10558794.8624231m²