Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1320 / 296
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 52.031250°		 ← 4 141.36 m → N 77.767582°
E 52.207031°		 →
↑
4 147.52 m
↓
↑
4 147.52 m
↓
N 77.730283°
E 52.031250°		 ← 4 153.79 m →
17 202 154 m²		 N 77.730283°
E 52.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644775390625 y=0.144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644775390625 × 211)
    floor (0.644775390625 × 2048)
    floor (1320.5)     		tx = 1320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144775390625 × 211)
    floor (0.144775390625 × 2048)
    floor (296.5)     		ty = 296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1320 / 296 ti = "11/1320/296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1320/296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1320 ÷ 211
    1320 ÷ 2048     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 296 ÷ 211
    296 ÷ 2048     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1320 KachelY 296 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 1321 KachelY 296 0.91118459 1.35730036 52.207031 77.767582
    Unten links KachelX 1320 KachelY + 1 297 0.90811663 1.35664936 52.031250 77.730283
    Unten rechts KachelX + 1 1321 KachelY + 1 297 0.91118459 1.35664936 52.207031 77.730283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35664936) × R
    0.000650999999999957 × 6371000     		dl = 4147.52099999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35664936) × R
    0.000650999999999957 × 6371000     		dr = 4147.52099999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.91118459) × cos(1.35730036) × R
    0.00306795999999998 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 4141.35745207638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.91118459) × cos(1.35664936) × R
    0.00306795999999998 × 0.212513957474201 × 6371000     		du = 4153.79210891609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35664936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.212513957474201)×R²
    abs(0.91118459-0.90811663)×0.000636174865171341×R²
    0.00306795999999998×0.000636174865171341×6371000²
    0.00306795999999998×0.000636174865171341×40589641000000     		ar = 17202154.1087022m²