Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1324 / 300
↖ ↑ ↗
← N 77.617709°
E 52.734375°		 ← 4 191.31 m → N 77.617709°
E 52.910156°		 →
↑
4 197.60 m
↓
↑
4 197.60 m
↓
N 77.579959°
E 52.734375°		 ← 4 203.89 m →
17 619 831 m²		 N 77.579959°
E 52.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.646728515625 y=0.146728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.646728515625 × 211)
    floor (0.646728515625 × 2048)
    floor (1324.5)     		tx = 1324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146728515625 × 211)
    floor (0.146728515625 × 2048)
    floor (300.5)     		ty = 300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1324 / 300 ti = "11/1324/300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1324/300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1324 ÷ 211
    1324 ÷ 2048     		x = 0.646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 300 ÷ 211
    300 ÷ 2048     		y = 0.146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.646484375 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.92038847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146484375 × 2 - 1) × π
    0.70703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22120418079492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92038847} λ = 0.92038847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22120418079492))-π/2
    2×atan(9.21842483511521)-π/2
    2×1.4627404538038-π/2
    2.9254809076076-1.57079632675     		φ = 1.35468458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92038847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35468458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.617709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1324 KachelY 300 0.92038847 1.35468458 52.734375 77.617709
    Oben rechts KachelX + 1 1325 KachelY 300 0.92345643 1.35468458 52.910156 77.617709
    Unten links KachelX 1324 KachelY + 1 301 0.92038847 1.35402572 52.734375 77.579959
    Unten rechts KachelX + 1 1325 KachelY + 1 301 0.92345643 1.35402572 52.910156 77.579959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35468458-1.35402572) × R
    0.000658859999999928 × 6371000     		dl = 4197.59705999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35468458-1.35402572) × R
    0.000658859999999928 × 6371000     		dr = 4197.59705999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92038847-0.92345643) × cos(1.35468458) × R
    0.00306795999999998 × 0.214433446605324 × 6371000     		do = 4191.31039195394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92038847-0.92345643) × cos(1.35402572) × R
    0.00306795999999998 × 0.215076934011791 × 6371000     		du = 4203.88797952953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35468458)-sin(1.35402572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214433446605324-0.215076934011791)×R²
    abs(0.92345643-0.92038847)×0.000643487406466442×R²
    0.00306795999999998×0.000643487406466442×6371000²
    0.00306795999999998×0.000643487406466442×40589641000000     		ar = 17619830.6385217m²