Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1327 / 305
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
E 53.261719°		 ← 4 254.56 m → N 77.427823°
E 53.437500°		 →
↑
4 260.92 m
↓
↑
4 260.92 m
↓
N 77.389504°
E 53.261719°		 ← 4 267.32 m →
18 155 534 m²		 N 77.389504°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648193359375 y=0.149169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648193359375 × 211)
    floor (0.648193359375 × 2048)
    floor (1327.5)     		tx = 1327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149169921875 × 211)
    floor (0.149169921875 × 2048)
    floor (305.5)     		ty = 305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1327 / 305 ti = "11/1327/305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1327/305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1327 ÷ 211
    1327 ÷ 2048     		x = 0.64794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 305 ÷ 211
    305 ÷ 2048     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64794921875 × 2 - 1) × π
    0.2958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.92959236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92959236} λ = 0.92959236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92959236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1327 KachelY 305 0.92959236 1.35137045 53.261719 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 1328 KachelY 305 0.93266032 1.35137045 53.437500 77.427823
    Unten links KachelX 1327 KachelY + 1 306 0.92959236 1.35070165 53.261719 77.389504
    Unten rechts KachelX + 1 1328 KachelY + 1 306 0.93266032 1.35070165 53.437500 77.389504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35070165) × R
    0.000668799999999914 × 6371000     		dl = 4260.92479999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35070165) × R
    0.000668799999999914 × 6371000     		dr = 4260.92479999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92959236-0.93266032) × cos(1.35137045) × R
    0.00306795999999998 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 4254.55833023134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92959236-0.93266032) × cos(1.35070165) × R
    0.00306795999999998 × 0.21832201694531 × 6371000     		du = 4267.31628345006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35070165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.21832201694531)×R²
    abs(0.93266032-0.92959236)×0.000652715171267748×R²
    0.00306795999999998×0.000652715171267748×6371000²
    0.00306795999999998×0.000652715171267748×40589641000000     		ar = 18155534.1187037m²