Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1328 / 303
↖ ↑ ↗
← N 77.504119°
E 53.437500°		 ← 4 229.15 m → N 77.504119°
E 53.613281°		 →
↑
4 235.44 m
↓
↑
4 235.44 m
↓
N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 4 241.84 m →
17 939 184 m²		 N 77.466029°
E 53.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648681640625 y=0.148193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648681640625 × 211)
    floor (0.648681640625 × 2048)
    floor (1328.5)     		tx = 1328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148193359375 × 211)
    floor (0.148193359375 × 2048)
    floor (303.5)     		ty = 303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1328 / 303 ti = "11/1328/303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1328/303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1328 ÷ 211
    1328 ÷ 2048     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 303 ÷ 211
    303 ÷ 2048     		y = 0.14794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14794921875 × 2 - 1) × π
    0.7041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21200029606787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21200029606787))-π/2
    2×atan(9.13396877369383)-π/2
    2×1.46174919516288-π/2
    2.92349839032576-1.57079632675     		φ = 1.35270206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35270206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.504119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1328 KachelY 303 0.93266032 1.35270206 53.437500 77.504119
    Oben rechts KachelX + 1 1329 KachelY 303 0.93572828 1.35270206 53.613281 77.504119
    Unten links KachelX 1328 KachelY + 1 304 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 1329 KachelY + 1 304 0.93572828 1.35203726 53.613281 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35270206-1.35203726) × R
    0.000664800000000021 × 6371000     		dl = 4235.44080000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35270206-1.35203726) × R
    0.000664800000000021 × 6371000     		dr = 4235.44080000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93572828) × cos(1.35270206) × R
    0.00306795999999998 × 0.216369427747516 × 6371000     		do = 4229.15102739748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93572828) × cos(1.35203726) × R
    0.00306795999999998 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 4241.83644347137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35270206)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216369427747516-0.217018431814494)×R²
    abs(0.93572828-0.93266032)×0.000649004066978237×R²
    0.00306795999999998×0.000649004066978237×6371000²
    0.00306795999999998×0.000649004066978237×40589641000000     		ar = 17939183.6359066m²