Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1328 / 816
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E 53.437500°		 ← 16.146 km → N 34.307144°
E 53.613281°		 →
↑
16.159 km
↓
↑
16.159 km
↓
N 34.161818°
E 53.437500°		 ← 16.173 km →
261.129 km²		 N 34.161818°
E 53.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648681640625 y=0.398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648681640625 × 211)
    floor (0.648681640625 × 2048)
    floor (1328.5)     		tx = 1328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398681640625 × 211)
    floor (0.398681640625 × 2048)
    floor (816.5)     		ty = 816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1328 / 816 ti = "11/1328/816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1328/816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1328 ÷ 211
    1328 ÷ 2048     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 816 ÷ 211
    816 ÷ 2048     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1328 KachelY 816 0.93266032 0.59877262 53.437500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 1329 KachelY 816 0.93572828 0.59877262 53.613281 34.307144
    Unten links KachelX 1328 KachelY + 1 817 0.93266032 0.59623621 53.437500 34.161818
    Unten rechts KachelX + 1 1329 KachelY + 1 817 0.93572828 0.59623621 53.613281 34.161818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.59623621) × R
    0.00253640999999993 × 6371000     		dl = 16159.4681099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.59623621) × R
    0.00253640999999993 × 6371000     		dr = 16159.4681099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93572828) × cos(0.59877262) × R
    0.00306795999999998 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 16145.5215854663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93572828) × cos(0.59623621) × R
    0.00306795999999998 × 0.82745495969421 × 6371000     		du = 16173.4124332918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.59623621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.82745495969421)×R²
    abs(0.93572828-0.93266032)×0.00142693574769381×R²
    0.00306795999999998×0.00142693574769381×6371000²
    0.00306795999999998×0.00142693574769381×40589641000000     		ar = 261128531.807495m²