Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13304 / 21512
↖ ↑ ↗
← S 48.980217°
W 33.837890°		 ← 801.74 m → S 48.980217°
W 33.826905°		 →
↑
801.73 m
↓
↑
801.73 m
↓
S 48.987427°
W 33.837890°		 ← 801.63 m →
642 733 m²		 S 48.987427°
W 33.826905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406021118164062 y=0.656509399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406021118164062 × 215)
    floor (0.406021118164062 × 32768)
    floor (13304.5)     		tx = 13304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656509399414062 × 215)
    floor (0.656509399414062 × 32768)
    floor (21512.5)     		ty = 21512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13304 / 21512 ti = "15/13304/21512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13304/21512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13304 ÷ 215
    13304 ÷ 32768     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21512 ÷ 215
    21512 ÷ 32768     		y = 0.656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983281685006592))-π/2
    2×atan(0.374081464784872)-π/2
    2×0.357965136038648-π/2
    0.715930272077297-1.57079632675     		φ = -0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13304 KachelY 21512 -0.59058260 -0.85486605 -33.837890 -48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 13305 KachelY 21512 -0.59039086 -0.85486605 -33.826905 -48.980217
    Unten links KachelX 13304 KachelY + 1 21513 -0.59058260 -0.85499189 -33.837890 -48.987427
    Unten rechts KachelX + 1 13305 KachelY + 1 21513 -0.59039086 -0.85499189 -33.826905 -48.987427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85486605--0.85499189) × R
    0.000125839999999933 × 6371000     		dl = 801.726639999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85486605--0.85499189) × R
    0.000125839999999933 × 6371000     		dr = 801.726639999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.59039086) × cos(-0.85486605) × R
    0.000191739999999996 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 801.743943672098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.59039086) × cos(-0.85499189) × R
    0.000191739999999996 × 0.656224629287349 × 6371000     		du = 801.627955882976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85486605)-sin(-0.85499189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656224629287349)×R²
    abs(-0.59039086--0.59058260)×9.4949338230621e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4949338230621e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4949338230621e-05×40589641000000     		ar = 642732.983698198m²