Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13308 / 21500
↖ ↑ ↗
← S 48.893615°
W 33.793945°		 ← 803.14 m → S 48.893615°
W 33.782959°		 →
↑
803.13 m
↓
↑
803.13 m
↓
S 48.900838°
W 33.793945°		 ← 803.02 m →
644 975 m²		 S 48.900838°
W 33.782959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406143188476562 y=0.656143188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406143188476562 × 215)
    floor (0.406143188476562 × 32768)
    floor (13308.5)     		tx = 13308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656143188476562 × 215)
    floor (0.656143188476562 × 32768)
    floor (21500.5)     		ty = 21500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13308 / 21500 ti = "15/13308/21500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13308/21500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13308 ÷ 215
    13308 ÷ 32768     		x = 0.4061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21500 ÷ 215
    21500 ÷ 32768     		y = 0.6561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58981561} λ = -0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980980713824829))-π/2
    2×atan(0.37494320649619)-π/2
    2×0.358720877775912-π/2
    0.717441755551824-1.57079632675     		φ = -0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13308 KachelY 21500 -0.58981561 -0.85335457 -33.793945 -48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 13309 KachelY 21500 -0.58962387 -0.85335457 -33.782959 -48.893615
    Unten links KachelX 13308 KachelY + 1 21501 -0.58981561 -0.85348063 -33.793945 -48.900838
    Unten rechts KachelX + 1 13309 KachelY + 1 21501 -0.58962387 -0.85348063 -33.782959 -48.900838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85335457--0.85348063) × R
    0.000126059999999928 × 6371000     		dl = 803.128259999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85335457--0.85348063) × R
    0.000126059999999928 × 6371000     		dr = 803.128259999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58981561--0.58962387) × cos(-0.85335457) × R
    0.000191739999999996 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 803.13609493828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58981561--0.58962387) × cos(-0.85348063) × R
    0.000191739999999996 × 0.657364224275333 × 6371000     		du = 803.020057245803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85335457)-sin(-0.85348063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657364224275333)×R²
    abs(-0.58962387--0.58981561)×9.49901898629202e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49901898629202e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49901898629202e-05×40589641000000     		ar = 644974.698749693m²