Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13311 / 21505
↖ ↑ ↗
← S 48.929717°
W 33.760986°		 ← 802.60 m → S 48.929717°
W 33.750000°		 →
↑
802.55 m
↓
↑
802.55 m
↓
S 48.936935°
W 33.760986°		 ← 802.48 m →
644 082 m²		 S 48.936935°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406234741210938 y=0.656295776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406234741210938 × 215)
    floor (0.406234741210938 × 32768)
    floor (13311.5)     		tx = 13311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656295776367188 × 215)
    floor (0.656295776367188 × 32768)
    floor (21505.5)     		ty = 21505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13311 / 21505 ti = "15/13311/21505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13311/21505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13311 ÷ 215
    13311 ÷ 32768     		x = 0.406219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21505 ÷ 215
    21505 ÷ 32768     		y = 0.656280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.18756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58924037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98193945181723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58924037} λ = -0.58924037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98193945181723))-π/2
    2×atan(0.374583906463947)-π/2
    2×0.358405826043866-π/2
    0.716811652087731-1.57079632675     		φ = -0.85398467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58924037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.760986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85398467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.929717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13311 KachelY 21505 -0.58924037 -0.85398467 -33.760986 -48.929717
    Oben rechts KachelX + 1 13312 KachelY 21505 -0.58904862 -0.85398467 -33.750000 -48.929717
    Unten links KachelX 13311 KachelY + 1 21506 -0.58924037 -0.85411064 -33.760986 -48.936935
    Unten rechts KachelX + 1 13312 KachelY + 1 21506 -0.58904862 -0.85411064 -33.750000 -48.936935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85398467--0.85411064) × R
    0.000125970000000031 × 6371000     		dl = 802.554870000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85398467--0.85411064) × R
    0.000125970000000031 × 6371000     		dr = 802.554870000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58924037--0.58904862) × cos(-0.85398467) × R
    0.000191749999999935 × 0.65698430984928 × 6371000     		do = 802.59781954577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58924037--0.58904862) × cos(-0.85411064) × R
    0.000191749999999935 × 0.65688933531863 × 6371000     		du = 802.481794931378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85398467)-sin(-0.85411064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65698430984928-0.65688933531863)×R²
    abs(-0.58904862--0.58924037)×9.49745306496608e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49745306496608e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49745306496608e-05×40589641000000     		ar = 644082.231520356m²