Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13312 / 1025
↖ ↑ ↗
← N 82.673483°
E112.500000°		 ← 311.57 m → N 82.673483°
E112.521972°		 →
↑
311.61 m
↓
↑
311.61 m
↓
N 82.670681°
E112.500000°		 ← 311.69 m →
97 105 m²		 N 82.670681°
E112.521972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812530517578125 y=0.062591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812530517578125 × 214)
    floor (0.812530517578125 × 16384)
    floor (13312.5)     		tx = 13312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062591552734375 × 214)
    floor (0.062591552734375 × 16384)
    floor (1025.5)     		ty = 1025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13312 / 1025 ti = "14/13312/1025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13312/1025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13312 ÷ 214
    13312 ÷ 16384     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1025 ÷ 214
    1025 ÷ 16384     		y = 0.06256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06256103515625 × 2 - 1) × π
    0.8748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74851007661554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74851007661554))-π/2
    2×atan(15.6193429148476)-π/2
    2×1.50686040878437-π/2
    3.01372081756873-1.57079632675     		φ = 1.44292449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44292449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.673483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13312 KachelY 1025 1.96349541 1.44292449 112.500000 82.673483
    Oben rechts KachelX + 1 13313 KachelY 1025 1.96387890 1.44292449 112.521972 82.673483
    Unten links KachelX 13312 KachelY + 1 1026 1.96349541 1.44287558 112.500000 82.670681
    Unten rechts KachelX + 1 13313 KachelY + 1 1026 1.96387890 1.44287558 112.521972 82.670681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44292449-1.44287558) × R
    4.89100000000686e-05 × 6371000     		dl = 311.605610000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44292449-1.44287558) × R
    4.89100000000686e-05 × 6371000     		dr = 311.605610000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96387890) × cos(1.44292449) × R
    0.000383490000000153 × 0.127523645113288 × 6371000     		do = 311.56765581562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96387890) × cos(1.44287558) × R
    0.000383490000000153 × 0.127572155636544 × 6371000     		du = 311.686177443511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44292449)-sin(1.44287558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127523645113288-0.127572155636544)×R²
    abs(1.96387890-1.96349541)×4.85105232564398e-05×R²
    0.000383490000000153×4.85105232564398e-05×6371000²
    0.000383490000000153×4.85105232564398e-05×40589641000000     		ar = 97104.6954694309m²