Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13312 / 23552
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 33.750000°		 ← 580.92 m → S 61.606397°
W 33.739013°		 →
↑
580.84 m
↓
↑
580.84 m
↓
S 61.611620°
W 33.750000°		 ← 580.82 m →
337 396 m²		 S 61.611620°
W 33.739013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406265258789062 y=0.718765258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406265258789062 × 215)
    floor (0.406265258789062 × 32768)
    floor (13312.5)     		tx = 13312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718765258789062 × 215)
    floor (0.718765258789062 × 32768)
    floor (23552.5)     		ty = 23552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13312 / 23552 ti = "15/13312/23552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13312/23552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13312 ÷ 215
    13312 ÷ 32768     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23552 ÷ 215
    23552 ÷ 32768     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13312 KachelY 23552 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 13313 KachelY 23552 -0.58885687 -1.07523446 -33.739013 -61.606397
    Unten links KachelX 13312 KachelY + 1 23553 -0.58904862 -1.07532563 -33.750000 -61.611620
    Unten rechts KachelX + 1 13313 KachelY + 1 23553 -0.58885687 -1.07532563 -33.739013 -61.611620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07532563) × R
    9.11700000001403e-05 × 6371000     		dl = 580.844070000894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07532563) × R
    9.11700000001403e-05 × 6371000     		dr = 580.844070000894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58885687) × cos(-1.07523446) × R
    0.000191750000000046 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 580.92122778064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58885687) × cos(-1.07532563) × R
    0.000191750000000046 × 0.475445797084055 × 6371000     		du = 580.823246965557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07532563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475445797084055)×R²
    abs(-0.58885687--0.58904862)×8.02043770968819e-05×R²
    0.000191750000000046×8.02043770968819e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.02043770968819e-05×40589641000000     		ar = 337396.194739898m²