Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13312 / 5120
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
W 33.750000°		 ← 278.12 m → N 76.840817°
W 33.739013°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 76.838315°
W 33.750000°		 ← 278.17 m →
77 367 m²		 N 76.838315°
W 33.739013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406265258789062 y=0.156265258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406265258789062 × 215)
    floor (0.406265258789062 × 32768)
    floor (13312.5)     		tx = 13312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156265258789062 × 215)
    floor (0.156265258789062 × 32768)
    floor (5120.5)     		ty = 5120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13312 / 5120 ti = "15/13312/5120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13312/5120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13312 ÷ 215
    13312 ÷ 32768     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5120 ÷ 215
    5120 ÷ 32768     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13312 KachelY 5120 -0.58904862 1.34112525 -33.750000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 13313 KachelY 5120 -0.58885687 1.34112525 -33.739013 76.840817
    Unten links KachelX 13312 KachelY + 1 5121 -0.58904862 1.34108159 -33.750000 76.838315
    Unten rechts KachelX + 1 13313 KachelY + 1 5121 -0.58885687 1.34108159 -33.739013 76.838315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.34108159) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.34108159) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58885687) × cos(1.34112525) × R
    0.000191750000000046 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 278.115031825983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58885687) × cos(1.34108159) × R
    0.000191750000000046 × 0.227699763066568 × 6371000     		du = 278.166967777887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.34108159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227699763066568)×R²
    abs(-0.58885687--0.58904862)×4.25133294498226e-05×R²
    0.000191750000000046×4.25133294498226e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.25133294498226e-05×40589641000000     		ar = 77367.1052959728m²