Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13313 / 19457
↖ ↑ ↗
← S 31.961483°
W 33.739013°		 ← 1 036.39 m → S 31.961483°
W 33.728027°		 →
↑
1 036.37 m
↓
↑
1 036.37 m
↓
S 31.970804°
W 33.739013°		 ← 1 036.28 m →
1 074 029 m²		 S 31.970804°
W 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406295776367188 y=0.593795776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406295776367188 × 215)
    floor (0.406295776367188 × 32768)
    floor (13313.5)     		tx = 13313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593795776367188 × 215)
    floor (0.593795776367188 × 32768)
    floor (19457.5)     		ty = 19457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13313 / 19457 ti = "15/13313/19457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13313/19457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13313 ÷ 215
    13313 ÷ 32768     		x = 0.406280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19457 ÷ 215
    19457 ÷ 32768     		y = 0.593780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.58924037012973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58885687} λ = -0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58924037012973))-π/2
    2×atan(0.554748528272228)-π/2
    2×0.50648160245641-π/2
    1.01296320491282-1.57079632675     		φ = -0.55783312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55783312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.961483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13313 KachelY 19457 -0.58885687 -0.55783312 -33.739013 -31.961483
    Oben rechts KachelX + 1 13314 KachelY 19457 -0.58866513 -0.55783312 -33.728027 -31.961483
    Unten links KachelX 13313 KachelY + 1 19458 -0.58885687 -0.55799579 -33.739013 -31.970804
    Unten rechts KachelX + 1 13314 KachelY + 1 19458 -0.58866513 -0.55799579 -33.728027 -31.970804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55783312--0.55799579) × R
    0.000162670000000031 × 6371000     		dl = 1036.3705700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55783312--0.55799579) × R
    0.000162670000000031 × 6371000     		dr = 1036.3705700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58885687--0.58866513) × cos(-0.55783312) × R
    0.000191739999999996 × 0.84840413777434 × 6371000     		do = 1036.3897427399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58885687--0.58866513) × cos(-0.55799579) × R
    0.000191739999999996 × 0.848318017339372 × 6371000     		du = 1036.28454012305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55783312)-sin(-0.55799579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84840413777434-0.848318017339372)×R²
    abs(-0.58866513--0.58885687)×8.61204349680289e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61204349680289e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61204349680289e-05×40589641000000     		ar = 1074029.31634555m²