Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13313 / 23553
↖ ↑ ↗
← S 61.611620°
W 33.739013°		 ← 580.79 m → S 61.611620°
W 33.728027°		 →
↑
580.78 m
↓
↑
580.78 m
↓
S 61.616843°
W 33.739013°		 ← 580.69 m →
337 285 m²		 S 61.616843°
W 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406295776367188 y=0.718795776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406295776367188 × 215)
    floor (0.406295776367188 × 32768)
    floor (13313.5)     		tx = 13313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718795776367188 × 215)
    floor (0.718795776367188 × 32768)
    floor (23553.5)     		ty = 23553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13313 / 23553 ti = "15/13313/23553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13313/23553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13313 ÷ 215
    13313 ÷ 32768     		x = 0.406280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23553 ÷ 215
    23553 ÷ 32768     		y = 0.718780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.43756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37463853350473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58885687} λ = -0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37463853350473))-π/2
    2×atan(0.252931005367059)-π/2
    2×0.247735348282409-π/2
    0.495470696564818-1.57079632675     		φ = -1.07532563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07532563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.611620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13313 KachelY 23553 -0.58885687 -1.07532563 -33.739013 -61.611620
    Oben rechts KachelX + 1 13314 KachelY 23553 -0.58866513 -1.07532563 -33.728027 -61.611620
    Unten links KachelX 13313 KachelY + 1 23554 -0.58885687 -1.07541679 -33.739013 -61.616843
    Unten rechts KachelX + 1 13314 KachelY + 1 23554 -0.58866513 -1.07541679 -33.728027 -61.616843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07532563--1.07541679) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dl = 580.780359999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07532563--1.07541679) × R
    9.1159999999979e-05 × 6371000     		dr = 580.780359999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58885687--0.58866513) × cos(-1.07532563) × R
    0.000191739999999996 × 0.475445797084055 × 6371000     		do = 580.792956313672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58885687--0.58866513) × cos(-1.07541679) × R
    0.000191739999999996 × 0.475365597552951 × 6371000     		du = 580.694986528157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07532563)-sin(-1.07541679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475445797084055-0.475365597552951)×R²
    abs(-0.58866513--0.58885687)×8.01995311038306e-05×R²
    0.000191739999999996×8.01995311038306e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.01995311038306e-05×40589641000000     		ar = 337284.693022774m²