Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13314 / 1026
↖ ↑ ↗
← N 82.670681°
E112.543945°		 ← 311.69 m → N 82.670681°
E112.565918°		 →
↑
311.80 m
↓
↑
311.80 m
↓
N 82.667877°
E112.543945°		 ← 311.80 m →
97 201 m²		 N 82.667877°
E112.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812652587890625 y=0.062652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812652587890625 × 214)
    floor (0.812652587890625 × 16384)
    floor (13314.5)     		tx = 13314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062652587890625 × 214)
    floor (0.062652587890625 × 16384)
    floor (1026.5)     		ty = 1026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13314 / 1026 ti = "14/13314/1026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13314/1026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13314 ÷ 214
    13314 ÷ 16384     		x = 0.8126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1026 ÷ 214
    1026 ÷ 16384     		y = 0.0626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96426240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0626220703125 × 2 - 1) × π
    0.874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74812658141858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96426240} λ = 1.96426240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74812658141858))-π/2
    2×atan(15.6133541202705)-π/2
    2×1.50683595178083-π/2
    3.01367190356167-1.57079632675     		φ = 1.44287558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96426240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44287558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.670681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13314 KachelY 1026 1.96426240 1.44287558 112.543945 82.670681
    Oben rechts KachelX + 1 13315 KachelY 1026 1.96464589 1.44287558 112.565918 82.670681
    Unten links KachelX 13314 KachelY + 1 1027 1.96426240 1.44282664 112.543945 82.667877
    Unten rechts KachelX + 1 13315 KachelY + 1 1027 1.96464589 1.44282664 112.565918 82.667877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44287558-1.44282664) × R
    4.89399999998863e-05 × 6371000     		dl = 311.796739999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44287558-1.44282664) × R
    4.89399999998863e-05 × 6371000     		dr = 311.796739999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96426240-1.96464589) × cos(1.44287558) × R
    0.000383489999999931 × 0.127572155636544 × 6371000     		do = 311.68617744333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96426240-1.96464589) × cos(1.44282664) × R
    0.000383489999999931 × 0.127620695609315 × 6371000     		du = 311.804771022711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44287558)-sin(1.44282664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127572155636544-0.127620695609315)×R²
    abs(1.96464589-1.96426240)×4.85399727711833e-05×R²
    0.000383489999999931×4.85399727711833e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.85399727711833e-05×40589641000000     		ar = 97201.2225940004m²