Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13314 / 21510
↖ ↑ ↗
← S 48.965794°
W 33.728027°		 ← 802.02 m → S 48.965794°
W 33.717041°		 →
↑
801.98 m
↓
↑
801.98 m
↓
S 48.973006°
W 33.728027°		 ← 801.90 m →
643 157 m²		 S 48.973006°
W 33.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406326293945312 y=0.656448364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406326293945312 × 215)
    floor (0.406326293945312 × 32768)
    floor (13314.5)     		tx = 13314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656448364257812 × 215)
    floor (0.656448364257812 × 32768)
    floor (21510.5)     		ty = 21510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13314 / 21510 ti = "15/13314/21510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13314/21510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13314 ÷ 215
    13314 ÷ 32768     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21510 ÷ 215
    21510 ÷ 32768     		y = 0.65643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982898189809631))-π/2
    2×atan(0.374224950741218)-π/2
    2×0.358091001947855-π/2
    0.716182003895711-1.57079632675     		φ = -0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13314 KachelY 21510 -0.58866513 -0.85461432 -33.728027 -48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 13315 KachelY 21510 -0.58847338 -0.85461432 -33.717041 -48.965794
    Unten links KachelX 13314 KachelY + 1 21511 -0.58866513 -0.85474020 -33.728027 -48.973006
    Unten rechts KachelX + 1 13315 KachelY + 1 21511 -0.58847338 -0.85474020 -33.717041 -48.973006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85461432--0.85474020) × R
    0.000125879999999912 × 6371000     		dl = 801.981479999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85461432--0.85474020) × R
    0.000125879999999912 × 6371000     		dr = 801.981479999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58847338) × cos(-0.85461432) × R
    0.000191749999999935 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 802.01775345173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58847338) × cos(-0.85474020) × R
    0.000191749999999935 × 0.656414525114531 × 6371000     		du = 801.90174814975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85461432)-sin(-0.85474020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656414525114531)×R²
    abs(-0.58847338--0.58866513)×9.49587220451242e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49587220451242e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49587220451242e-05×40589641000000     		ar = 643156.86869621m²