Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13315 / 21509
↖ ↑ ↗
← S 48.958581°
W 33.717041°		 ← 802.13 m → S 48.958581°
W 33.706055°		 →
↑
802.05 m
↓
↑
802.05 m
↓
S 48.965794°
W 33.717041°		 ← 802.02 m →
643 301 m²		 S 48.965794°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406356811523438 y=0.656417846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406356811523438 × 215)
    floor (0.406356811523438 × 32768)
    floor (13315.5)     		tx = 13315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656417846679688 × 215)
    floor (0.656417846679688 × 32768)
    floor (21509.5)     		ty = 21509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13315 / 21509 ti = "15/13315/21509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13315/21509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13315 ÷ 215
    13315 ÷ 32768     		x = 0.406341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21509 ÷ 215
    21509 ÷ 32768     		y = 0.656402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.31280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.982706442211151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58847338} λ = -0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982706442211151))-π/2
    2×atan(0.374296714356845)-π/2
    2×0.358153948558078-π/2
    0.716307897116156-1.57079632675     		φ = -0.85448843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85448843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.958581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13315 KachelY 21509 -0.58847338 -0.85448843 -33.717041 -48.958581
    Oben rechts KachelX + 1 13316 KachelY 21509 -0.58828163 -0.85448843 -33.706055 -48.958581
    Unten links KachelX 13315 KachelY + 1 21510 -0.58847338 -0.85461432 -33.717041 -48.965794
    Unten rechts KachelX + 1 13316 KachelY + 1 21510 -0.58828163 -0.85461432 -33.706055 -48.965794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85448843--0.85461432) × R
    0.000125890000000073 × 6371000     		dl = 802.045190000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85448843--0.85461432) × R
    0.000125890000000073 × 6371000     		dr = 802.045190000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58847338--0.58828163) × cos(-0.85448843) × R
    0.000191750000000046 × 0.656604439698071 × 6371000     		do = 802.133755259615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58847338--0.58828163) × cos(-0.85461432) × R
    0.000191750000000046 × 0.656509483836576 × 6371000     		du = 802.017753452195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85448843)-sin(-0.85461432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656604439698071-0.656509483836576)×R²
    abs(-0.58828163--0.58847338)×9.49558614953272e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49558614953272e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49558614953272e-05×40589641000000     		ar = 643301.00164705m²