Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13316 / 19460
↖ ↑ ↗
← S 31.989442°
W 33.706055°		 ← 1 036.13 m → S 31.989442°
W 33.695068°		 →
↑
1 036.05 m
↓
↑
1 036.05 m
↓
S 31.998760°
W 33.706055°		 ← 1 036.02 m →
1 073 428 m²		 S 31.998760°
W 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406387329101562 y=0.593887329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406387329101562 × 215)
    floor (0.406387329101562 × 32768)
    floor (13316.5)     		tx = 13316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593887329101562 × 215)
    floor (0.593887329101562 × 32768)
    floor (19460.5)     		ty = 19460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13316 / 19460 ti = "15/13316/19460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13316/19460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13316 ÷ 215
    13316 ÷ 32768     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19460 ÷ 215
    19460 ÷ 32768     		y = 0.5938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589815612925171))-π/2
    2×atan(0.55442950494479)-π/2
    2×0.506237620431107-π/2
    1.01247524086221-1.57079632675     		φ = -0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13316 KachelY 19460 -0.58828163 -0.55832109 -33.706055 -31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 13317 KachelY 19460 -0.58808988 -0.55832109 -33.695068 -31.989442
    Unten links KachelX 13316 KachelY + 1 19461 -0.58828163 -0.55848371 -33.706055 -31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 13317 KachelY + 1 19461 -0.58808988 -0.55848371 -33.695068 -31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55832109--0.55848371) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dl = 1036.05202000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55832109--0.55848371) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dr = 1036.05202000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58808988) × cos(-0.55832109) × R
    0.000191750000000046 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 1036.12811387768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58808988) × cos(-0.55848371) × R
    0.000191750000000046 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 1036.02285588727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55832109)-sin(-0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848059569047921)×R²
    abs(-0.58808988--0.58828163)×8.61612709394111e-05×R²
    0.000191750000000046×8.61612709394111e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.61612709394111e-05×40589641000000     		ar = 1073428.10135046m²