Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13316 / 21516
↖ ↑ ↗
← S 49.009051°
W 33.706055°		 ← 801.32 m → S 49.009051°
W 33.695068°		 →
↑
801.28 m
↓
↑
801.28 m
↓
S 49.016257°
W 33.706055°		 ← 801.21 m →
642 037 m²		 S 49.016257°
W 33.695068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406387329101562 y=0.656631469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406387329101562 × 215)
    floor (0.406387329101562 × 32768)
    floor (13316.5)     		tx = 13316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656631469726562 × 215)
    floor (0.656631469726562 × 32768)
    floor (21516.5)     		ty = 21516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13316 / 21516 ti = "15/13316/21516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13316/21516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13316 ÷ 215
    13316 ÷ 32768     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21516 ÷ 215
    21516 ÷ 32768     		y = 0.6566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.984048675400513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984048675400513))-π/2
    2×atan(0.373794657897962)-π/2
    2×0.357713513456219-π/2
    0.715427026912437-1.57079632675     		φ = -0.85536930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85536930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.009051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13316 KachelY 21516 -0.58828163 -0.85536930 -33.706055 -49.009051
    Oben rechts KachelX + 1 13317 KachelY 21516 -0.58808988 -0.85536930 -33.695068 -49.009051
    Unten links KachelX 13316 KachelY + 1 21517 -0.58828163 -0.85549507 -33.706055 -49.016257
    Unten rechts KachelX + 1 13317 KachelY + 1 21517 -0.58808988 -0.85549507 -33.695068 -49.016257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85536930--0.85549507) × R
    0.000125770000000025 × 6371000     		dl = 801.280670000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85536930--0.85549507) × R
    0.000125770000000025 × 6371000     		dr = 801.280670000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58808988) × cos(-0.85536930) × R
    0.000191750000000046 × 0.655939801957449 × 6371000     		do = 801.321807708639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58808988) × cos(-0.85549507) × R
    0.000191750000000046 × 0.655844863912901 × 6371000     		du = 801.2058276671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85536930)-sin(-0.85549507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655939801957449-0.655844863912901)×R²
    abs(-0.58808988--0.58828163)×9.49380445480763e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49380445480763e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49380445480763e-05×40589641000000     		ar = 642037.209530112m²