Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13317 / 21507
↖ ↑ ↗
← S 48.944151°
W 33.695068°		 ← 802.32 m → S 48.944151°
W 33.684082°		 →
↑
802.30 m
↓
↑
802.30 m
↓
S 48.951367°
W 33.695068°		 ← 802.21 m →
643 658 m²		 S 48.951367°
W 33.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406417846679688 y=0.656356811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406417846679688 × 215)
    floor (0.406417846679688 × 32768)
    floor (13317.5)     		tx = 13317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656356811523438 × 215)
    floor (0.656356811523438 × 32768)
    floor (21507.5)     		ty = 21507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13317 / 21507 ti = "15/13317/21507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13317/21507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13317 ÷ 215
    13317 ÷ 32768     		x = 0.406402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21507 ÷ 215
    21507 ÷ 32768     		y = 0.656341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.18719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58808988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.31268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.982322947014191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58808988} λ = -0.58808988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982322947014191))-π/2
    2×atan(0.374440282876198)-π/2
    2×0.358279869091356-π/2
    0.716559738182712-1.57079632675     		φ = -0.85423659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58808988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85423659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13317 KachelY 21507 -0.58808988 -0.85423659 -33.695068 -48.944151
    Oben rechts KachelX + 1 13318 KachelY 21507 -0.58789814 -0.85423659 -33.684082 -48.944151
    Unten links KachelX 13317 KachelY + 1 21508 -0.58808988 -0.85436252 -33.695068 -48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 13318 KachelY + 1 21508 -0.58789814 -0.85436252 -33.684082 -48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85423659--0.85436252) × R
    0.000125930000000052 × 6371000     		dl = 802.30003000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85423659--0.85436252) × R
    0.000125930000000052 × 6371000     		dr = 802.30003000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58808988--0.58789814) × cos(-0.85423659) × R
    0.000191739999999996 × 0.656794365445566 × 6371000     		do = 802.323931638107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58808988--0.58789814) × cos(-0.85436252) × R
    0.000191739999999996 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 802.20792446163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85423659)-sin(-0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656794365445566-0.656699400236557)×R²
    abs(-0.58789814--0.58808988)×9.49652090089792e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49652090089792e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49652090089792e-05×40589641000000     		ar = 643657.978993254m²