Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13319 / 21513
↖ ↑ ↗
← S 48.987427°
W 33.673096°		 ← 801.67 m → S 48.987427°
W 33.662109°		 →
↑
801.60 m
↓
↑
801.60 m
↓
S 48.994636°
W 33.673096°		 ← 801.55 m →
642 571 m²		 S 48.994636°
W 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406478881835938 y=0.656539916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406478881835938 × 215)
    floor (0.406478881835938 × 32768)
    floor (13319.5)     		tx = 13319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656539916992188 × 215)
    floor (0.656539916992188 × 32768)
    floor (21513.5)     		ty = 21513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13319 / 21513 ti = "15/13319/21513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13319/21513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13319 ÷ 215
    13319 ÷ 32768     		x = 0.406463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21513 ÷ 215
    21513 ÷ 32768     		y = 0.656524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.18707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58770639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.983473432605072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58770639} λ = -0.58770639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983473432605072))-π/2
    2×atan(0.374009742438877)-π/2
    2×0.357902216739024-π/2
    0.715804433478048-1.57079632675     		φ = -0.85499189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58770639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.673096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85499189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.987427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13319 KachelY 21513 -0.58770639 -0.85499189 -33.673096 -48.987427
    Oben rechts KachelX + 1 13320 KachelY 21513 -0.58751464 -0.85499189 -33.662109 -48.987427
    Unten links KachelX 13319 KachelY + 1 21514 -0.58770639 -0.85511771 -33.673096 -48.994636
    Unten rechts KachelX + 1 13320 KachelY + 1 21514 -0.58751464 -0.85511771 -33.662109 -48.994636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85499189--0.85511771) × R
    0.000125820000000054 × 6371000     		dl = 801.599220000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85499189--0.85511771) × R
    0.000125820000000054 × 6371000     		dr = 801.599220000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58770639--0.58751464) × cos(-0.85499189) × R
    0.000191750000000046 × 0.656224629287349 × 6371000     		do = 801.669763954318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58770639--0.58751464) × cos(-0.85511771) × R
    0.000191750000000046 × 0.656129684650302 × 6371000     		du = 801.553775859123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85499189)-sin(-0.85511771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656224629287349-0.656129684650302)×R²
    abs(-0.58751464--0.58770639)×9.49446370476226e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49446370476226e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49446370476226e-05×40589641000000     		ar = 642571.370347874m²