Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13320 / 21496
↖ ↑ ↗
← S 48.864715°
W 33.662109°		 ← 803.64 m → S 48.864715°
W 33.651123°		 →
↑
803.57 m
↓
↑
803.57 m
↓
S 48.871941°
W 33.662109°		 ← 803.53 m →
645 740 m²		 S 48.871941°
W 33.651123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406509399414062 y=0.656021118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406509399414062 × 215)
    floor (0.406509399414062 × 32768)
    floor (13320.5)     		tx = 13320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656021118164062 × 215)
    floor (0.656021118164062 × 32768)
    floor (21496.5)     		ty = 21496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13320 / 21496 ti = "15/13320/21496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13320/21496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13320 ÷ 215
    13320 ÷ 32768     		x = 0.406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21496 ÷ 215
    21496 ÷ 32768     		y = 0.656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58751464} λ = -0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980213723430908))-π/2
    2×atan(0.375230894646759)-π/2
    2×0.358973083085996-π/2
    0.717946166171992-1.57079632675     		φ = -0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13320 KachelY 21496 -0.58751464 -0.85285016 -33.662109 -48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 13321 KachelY 21496 -0.58732289 -0.85285016 -33.651123 -48.864715
    Unten links KachelX 13320 KachelY + 1 21497 -0.58751464 -0.85297629 -33.662109 -48.871941
    Unten rechts KachelX + 1 13321 KachelY + 1 21497 -0.58732289 -0.85297629 -33.651123 -48.871941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85285016--0.85297629) × R
    0.000126129999999947 × 6371000     		dl = 803.57422999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85285016--0.85297629) × R
    0.000126129999999947 × 6371000     		dr = 803.57422999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58751464--0.58732289) × cos(-0.85285016) × R
    0.000191749999999935 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 803.642185404292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58751464--0.58732289) × cos(-0.85297629) × R
    0.000191749999999935 × 0.657744197666295 × 6371000     		du = 803.526128328632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85285016)-sin(-0.85297629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657744197666295)×R²
    abs(-0.58732289--0.58751464)×9.50011025432351e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50011025432351e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50011025432351e-05×40589641000000     		ar = 645739.52094946m²