Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13321 / 21511
↖ ↑ ↗
← S 48.973006°
W 33.651123°		 ← 801.86 m → S 48.973006°
W 33.640137°		 →
↑
801.79 m
↓
↑
801.79 m
↓
S 48.980217°
W 33.651123°		 ← 801.74 m →
642 877 m²		 S 48.980217°
W 33.640137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406539916992188 y=0.656478881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406539916992188 × 215)
    floor (0.406539916992188 × 32768)
    floor (13321.5)     		tx = 13321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656478881835938 × 215)
    floor (0.656478881835938 × 32768)
    floor (21511.5)     		ty = 21511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13321 / 21511 ti = "15/13321/21511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13321/21511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13321 ÷ 215
    13321 ÷ 32768     		x = 0.406524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21511 ÷ 215
    21511 ÷ 32768     		y = 0.656463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.18695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58732289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.983089937408112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58732289} λ = -0.58732289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983089937408112))-π/2
    2×atan(0.374153200884773)-π/2
    2×0.358028064441486-π/2
    0.716056128882971-1.57079632675     		φ = -0.85474020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58732289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.651123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85474020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.973006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13321 KachelY 21511 -0.58732289 -0.85474020 -33.651123 -48.973006
    Oben rechts KachelX + 1 13322 KachelY 21511 -0.58713115 -0.85474020 -33.640137 -48.973006
    Unten links KachelX 13321 KachelY + 1 21512 -0.58732289 -0.85486605 -33.651123 -48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 13322 KachelY + 1 21512 -0.58713115 -0.85486605 -33.640137 -48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85474020--0.85486605) × R
    0.000125850000000094 × 6371000     		dl = 801.790350000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85474020--0.85486605) × R
    0.000125850000000094 × 6371000     		dr = 801.790350000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58732289--0.58713115) × cos(-0.85474020) × R
    0.000191739999999996 × 0.656414525114531 × 6371000     		do = 801.859927980609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58732289--0.58713115) × cos(-0.85486605) × R
    0.000191739999999996 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 801.743943672098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85474020)-sin(-0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656414525114531-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.58713115--0.58732289)×9.4946488951253e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4946488951253e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4946488951253e-05×40589641000000     		ar = 642877.055605871m²