Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13324 / 21508
↖ ↑ ↗
← S 48.951367°
W 33.618164°		 ← 802.25 m → S 48.951367°
W 33.607178°		 →
↑
802.17 m
↓
↑
802.17 m
↓
S 48.958581°
W 33.618164°		 ← 802.13 m →
643 496 m²		 S 48.958581°
W 33.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406631469726562 y=0.656387329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406631469726562 × 215)
    floor (0.406631469726562 × 32768)
    floor (13324.5)     		tx = 13324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656387329101562 × 215)
    floor (0.656387329101562 × 32768)
    floor (21508.5)     		ty = 21508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13324 / 21508 ti = "15/13324/21508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13324/21508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13324 ÷ 215
    13324 ÷ 32768     		x = 0.4066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21508 ÷ 215
    21508 ÷ 32768     		y = 0.6563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58674765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58674765} λ = -0.58674765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982514694612671))-π/2
    2×atan(0.374368491734291)-π/2
    2×0.358216904272472-π/2
    0.716433808544943-1.57079632675     		φ = -0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58674765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13324 KachelY 21508 -0.58674765 -0.85436252 -33.618164 -48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 13325 KachelY 21508 -0.58655590 -0.85436252 -33.607178 -48.951367
    Unten links KachelX 13324 KachelY + 1 21509 -0.58674765 -0.85448843 -33.618164 -48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 13325 KachelY + 1 21509 -0.58655590 -0.85448843 -33.607178 -48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85436252--0.85448843) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dl = 802.17260999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85436252--0.85448843) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dr = 802.17260999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58674765--0.58655590) × cos(-0.85436252) × R
    0.000191749999999935 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 802.249762780165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58674765--0.58655590) × cos(-0.85448843) × R
    0.000191749999999935 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 802.13375525915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85436252)-sin(-0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656604439698071)×R²
    abs(-0.58655590--0.58674765)×9.49605384852337e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49605384852337e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49605384852337e-05×40589641000000     		ar = 643496.257902859m²