Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13328 / 23568
↖ ↑ ↗
← S 61.689872°
W 33.574219°		 ← 579.35 m → S 61.689872°
W 33.563232°		 →
↑
579.32 m
↓
↑
579.32 m
↓
S 61.695082°
W 33.574219°		 ← 579.26 m →
335 601 m²		 S 61.695082°
W 33.563232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406753540039062 y=0.719253540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406753540039062 × 215)
    floor (0.406753540039062 × 32768)
    floor (13328.5)     		tx = 13328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719253540039062 × 215)
    floor (0.719253540039062 × 32768)
    floor (23568.5)     		ty = 23568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13328 / 23568 ti = "15/13328/23568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13328/23568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13328 ÷ 215
    13328 ÷ 32768     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23568 ÷ 215
    23568 ÷ 32768     		y = 0.71923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37751474748193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37751474748193))-π/2
    2×atan(0.252204566871227)-π/2
    2×0.247052470890511-π/2
    0.494104941781022-1.57079632675     		φ = -1.07669138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07669138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.689872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13328 KachelY 23568 -0.58598066 -1.07669138 -33.574219 -61.689872
    Oben rechts KachelX + 1 13329 KachelY 23568 -0.58578891 -1.07669138 -33.563232 -61.689872
    Unten links KachelX 13328 KachelY + 1 23569 -0.58598066 -1.07678231 -33.574219 -61.695082
    Unten rechts KachelX + 1 13329 KachelY + 1 23569 -0.58578891 -1.07678231 -33.563232 -61.695082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07669138--1.07678231) × R
    9.09300000000446e-05 × 6371000     		dl = 579.315030000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07669138--1.07678231) × R
    9.09300000000446e-05 × 6371000     		dr = 579.315030000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58578891) × cos(-1.07669138) × R
    0.000191750000000046 × 0.474243842283262 × 6371000     		do = 579.354891804181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58578891) × cos(-1.07678231) × R
    0.000191750000000046 × 0.474163786138566 × 6371000     		du = 579.257092075617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07669138)-sin(-1.07678231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474243842283262-0.474163786138566)×R²
    abs(-0.58578891--0.58598066)×8.00561446960835e-05×R²
    0.000191750000000046×8.00561446960835e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.00561446960835e-05×40589641000000     		ar = 335600.668331378m²