Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13329 / 21521
↖ ↑ ↗
← S 49.045070°
W 33.563232°		 ← 800.70 m → S 49.045070°
W 33.552246°		 →
↑
800.64 m
↓
↑
800.64 m
↓
S 49.052270°
W 33.563232°		 ← 800.58 m →
641 029 m²		 S 49.052270°
W 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406784057617188 y=0.656784057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406784057617188 × 215)
    floor (0.406784057617188 × 32768)
    floor (13329.5)     		tx = 13329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656784057617188 × 215)
    floor (0.656784057617188 × 32768)
    floor (21521.5)     		ty = 21521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13329 / 21521 ti = "15/13329/21521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13329/21521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13329 ÷ 215
    13329 ÷ 32768     		x = 0.406768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21521 ÷ 215
    21521 ÷ 32768     		y = 0.656768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.985007413392914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58578891} λ = -0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985007413392914))-π/2
    2×atan(0.373436458495204)-π/2
    2×0.357399190019098-π/2
    0.714798380038195-1.57079632675     		φ = -0.85599795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85599795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.045070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13329 KachelY 21521 -0.58578891 -0.85599795 -33.563232 -49.045070
    Oben rechts KachelX + 1 13330 KachelY 21521 -0.58559717 -0.85599795 -33.552246 -49.045070
    Unten links KachelX 13329 KachelY + 1 21522 -0.58578891 -0.85612362 -33.563232 -49.052270
    Unten rechts KachelX + 1 13330 KachelY + 1 21522 -0.58559717 -0.85612362 -33.552246 -49.052270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85599795--0.85612362) × R
    0.000125669999999967 × 6371000     		dl = 800.643569999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85599795--0.85612362) × R
    0.000125669999999967 × 6371000     		dr = 800.643569999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58578891--0.58559717) × cos(-0.85599795) × R
    0.000191739999999996 × 0.655465159052675 × 6371000     		do = 800.700205620939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58578891--0.58559717) × cos(-0.85612362) × R
    0.000191739999999996 × 0.65537024469934 × 6371000     		du = 800.584260568511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85599795)-sin(-0.85612362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655465159052675-0.65537024469934)×R²
    abs(-0.58559717--0.58578891)×9.49143533346408e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49143533346408e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49143533346408e-05×40589641000000     		ar = 641029.056640833m²