Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13332 / 21524
↖ ↑ ↗
← S 49.066669°
W 33.530273°		 ← 800.39 m → S 49.066669°
W 33.519287°		 →
↑
800.33 m
↓
↑
800.33 m
↓
S 49.073866°
W 33.530273°		 ← 800.28 m →
640 529 m²		 S 49.073866°
W 33.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406875610351562 y=0.656875610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406875610351562 × 215)
    floor (0.406875610351562 × 32768)
    floor (13332.5)     		tx = 13332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656875610351562 × 215)
    floor (0.656875610351562 × 32768)
    floor (21524.5)     		ty = 21524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13332 / 21524 ti = "15/13332/21524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13332/21524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13332 ÷ 215
    13332 ÷ 32768     		x = 0.4068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21524 ÷ 215
    21524 ÷ 32768     		y = 0.6568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58521367} λ = -0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985582656188355))-π/2
    2×atan(0.373221703636914)-π/2
    2×0.357210705163109-π/2
    0.714421410326218-1.57079632675     		φ = -0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13332 KachelY 21524 -0.58521367 -0.85637492 -33.530273 -49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 13333 KachelY 21524 -0.58502192 -0.85637492 -33.519287 -49.066669
    Unten links KachelX 13332 KachelY + 1 21525 -0.58521367 -0.85650054 -33.530273 -49.073866
    Unten rechts KachelX + 1 13333 KachelY + 1 21525 -0.58502192 -0.85650054 -33.519287 -49.073866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85637492--0.85650054) × R
    0.000125619999999937 × 6371000     		dl = 800.325019999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85637492--0.85650054) × R
    0.000125619999999937 × 6371000     		dr = 800.325019999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58521367--0.58502192) × cos(-0.85637492) × R
    0.000191750000000046 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 800.394110993853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58521367--0.58502192) × cos(-0.85650054) × R
    0.000191750000000046 × 0.65508550754389 × 6371000     		du = 800.27816812198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85637492)-sin(-0.85650054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.65508550754389)×R²
    abs(-0.58502192--0.58521367)×9.49076184918463e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49076184918463e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49076184918463e-05×40589641000000     		ar = 640529.037740725m²