Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13344 / 23584
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 33.398438°		 ← 577.79 m → S 61.773123°
W 33.387451°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
S 61.778319°
W 33.398438°		 ← 577.69 m →
333 812 m²		 S 61.778319°
W 33.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407241821289062 y=0.719741821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407241821289062 × 215)
    floor (0.407241821289062 × 32768)
    floor (13344.5)     		tx = 13344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719741821289062 × 215)
    floor (0.719741821289062 × 32768)
    floor (23584.5)     		ty = 23584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13344 / 23584 ti = "15/13344/23584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13344/23584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13344 ÷ 215
    13344 ÷ 32768     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23584 ÷ 215
    23584 ÷ 32768     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13344 KachelY 23584 -0.58291270 -1.07814438 -33.398438 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 13345 KachelY 23584 -0.58272095 -1.07814438 -33.387451 -61.773123
    Unten links KachelX 13344 KachelY + 1 23585 -0.58291270 -1.07823507 -33.398438 -61.778319
    Unten rechts KachelX + 1 13345 KachelY + 1 23585 -0.58272095 -1.07823507 -33.387451 -61.778319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.07823507) × R
    9.06900000001709e-05 × 6371000     		dl = 577.785990001089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.07823507) × R
    9.06900000001709e-05 × 6371000     		dr = 577.785990001089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.07814438) × R
    0.000191749999999935 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 577.791545430894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58272095) × cos(-1.07823507) × R
    0.000191749999999935 × 0.47288422306919 × 6371000     		du = 577.693927606882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.07823507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.47288422306919)×R²
    abs(-0.58272095--0.58291270)×7.99072426753145e-05×R²
    0.000191749999999935×7.99072426753145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.99072426753145e-05×40589641000000     		ar = 333811.65921507m²