Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13346 / 21538
↖ ↑ ↗
← S 49.167338°
W 33.376465°		 ← 798.73 m → S 49.167338°
W 33.365479°		 →
↑
798.73 m
↓
↑
798.73 m
↓
S 49.174522°
W 33.376465°		 ← 798.61 m →
637 925 m²		 S 49.174522°
W 33.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407302856445312 y=0.657302856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407302856445312 × 215)
    floor (0.407302856445312 × 32768)
    floor (13346.5)     		tx = 13346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657302856445312 × 215)
    floor (0.657302856445312 × 32768)
    floor (21538.5)     		ty = 21538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13346 / 21538 ti = "15/13346/21538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13346/21538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13346 ÷ 215
    13346 ÷ 32768     		x = 0.40728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21538 ÷ 215
    21538 ÷ 32768     		y = 0.65728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.3145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.988267122567078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58252920} λ = -0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988267122567078))-π/2
    2×atan(0.372221146104084)-π/2
    2×0.356332191845333-π/2
    0.712664383690667-1.57079632675     		φ = -0.85813194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85813194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.167338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13346 KachelY 21538 -0.58252920 -0.85813194 -33.376465 -49.167338
    Oben rechts KachelX + 1 13347 KachelY 21538 -0.58233746 -0.85813194 -33.365479 -49.167338
    Unten links KachelX 13346 KachelY + 1 21539 -0.58252920 -0.85825731 -33.376465 -49.174522
    Unten rechts KachelX + 1 13347 KachelY + 1 21539 -0.58233746 -0.85825731 -33.365479 -49.174522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85813194--0.85825731) × R
    0.000125370000000014 × 6371000     		dl = 798.732270000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85813194--0.85825731) × R
    0.000125370000000014 × 6371000     		dr = 798.732270000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58252920--0.58233746) × cos(-0.85813194) × R
    0.000191739999999996 × 0.653852024330439 × 6371000     		do = 798.729639701532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58252920--0.58233746) × cos(-0.85825731) × R
    0.000191739999999996 × 0.653757161435756 × 6371000     		du = 798.613757509734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85813194)-sin(-0.85825731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653852024330439-0.653757161435756)×R²
    abs(-0.58233746--0.58252920)×9.48628946827457e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48628946827457e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48628946827457e-05×40589641000000     		ar = 637924.859647731m²