Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13348 / 21540
↖ ↑ ↗
← S 49.181704°
W 33.354492°		 ← 798.54 m → S 49.181704°
W 33.343506°		 →
↑
798.41 m
↓
↑
798.41 m
↓
S 49.188884°
W 33.354492°		 ← 798.42 m →
637 519 m²		 S 49.188884°
W 33.343506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407363891601562 y=0.657363891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407363891601562 × 215)
    floor (0.407363891601562 × 32768)
    floor (13348.5)     		tx = 13348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657363891601562 × 215)
    floor (0.657363891601562 × 32768)
    floor (21540.5)     		ty = 21540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13348 / 21540 ti = "15/13348/21540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13348/21540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13348 ÷ 215
    13348 ÷ 32768     		x = 0.4073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21540 ÷ 215
    21540 ÷ 32768     		y = 0.6573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58214571} λ = -0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988650617764038))-π/2
    2×atan(0.372078428449863)-π/2
    2×0.356206835479319-π/2
    0.712413670958638-1.57079632675     		φ = -0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13348 KachelY 21540 -0.58214571 -0.85838266 -33.354492 -49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 13349 KachelY 21540 -0.58195396 -0.85838266 -33.343506 -49.181704
    Unten links KachelX 13348 KachelY + 1 21541 -0.58214571 -0.85850798 -33.354492 -49.188884
    Unten rechts KachelX + 1 13349 KachelY + 1 21541 -0.58195396 -0.85850798 -33.343506 -49.188884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85838266--0.85850798) × R
    0.000125319999999984 × 6371000     		dl = 798.4137199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85838266--0.85850798) × R
    0.000125319999999984 × 6371000     		dr = 798.4137199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58214571--0.58195396) × cos(-0.85838266) × R
    0.000191750000000046 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 798.539526080608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58214571--0.58195396) × cos(-0.85850798) × R
    0.000191750000000046 × 0.65356745780211 × 6371000     		du = 798.423658973968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85838266)-sin(-0.85850798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.65356745780211)×R²
    abs(-0.58195396--0.58214571)×9.48455991737207e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48455991737207e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48455991737207e-05×40589641000000     		ar = 637518.659475653m²