Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13352 / 21544
↖ ↑ ↗
← S 49.210420°
W 33.310547°		 ← 798.08 m → S 49.210420°
W 33.299560°		 →
↑
798.03 m
↓
↑
798.03 m
↓
S 49.217597°
W 33.310547°		 ← 797.96 m →
636 844 m²		 S 49.217597°
W 33.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407485961914062 y=0.657485961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407485961914062 × 215)
    floor (0.407485961914062 × 32768)
    floor (13352.5)     		tx = 13352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657485961914062 × 215)
    floor (0.657485961914062 × 32768)
    floor (21544.5)     		ty = 21544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13352 / 21544 ti = "15/13352/21544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13352/21544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13352 ÷ 215
    13352 ÷ 32768     		x = 0.407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21544 ÷ 215
    21544 ÷ 32768     		y = 0.657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58137872} λ = -0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989417608157959))-π/2
    2×atan(0.371793157283563)-π/2
    2×0.355956231873019-π/2
    0.711912463746038-1.57079632675     		φ = -0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13352 KachelY 21544 -0.58137872 -0.85888386 -33.310547 -49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 13353 KachelY 21544 -0.58118697 -0.85888386 -33.299560 -49.210420
    Unten links KachelX 13352 KachelY + 1 21545 -0.58137872 -0.85900912 -33.310547 -49.217597
    Unten rechts KachelX + 1 13353 KachelY + 1 21545 -0.58118697 -0.85900912 -33.299560 -49.217597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85888386--0.85900912) × R
    0.000125259999999905 × 6371000     		dl = 798.031459999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85888386--0.85900912) × R
    0.000125259999999905 × 6371000     		dr = 798.031459999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58137872--0.58118697) × cos(-0.85888386) × R
    0.000191750000000046 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 798.07605641898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58137872--0.58118697) × cos(-0.85900912) × R
    0.000191750000000046 × 0.65318807878428 × 6371000     		du = 797.96019467516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85888386)-sin(-0.85900912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.65318807878428)×R²
    abs(-0.58118697--0.58137872)×9.48412093175754e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48412093175754e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48412093175754e-05×40589641000000     		ar = 636843.570668784m²