Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13360 / 21552
↖ ↑ ↗
← S 49.267804°
W 33.222656°		 ← 797.15 m → S 49.267804°
W 33.211670°		 →
↑
797.14 m
↓
↑
797.14 m
↓
S 49.274973°
W 33.222656°		 ← 797.03 m →
635 393 m²		 S 49.274973°
W 33.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407730102539062 y=0.657730102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407730102539062 × 215)
    floor (0.407730102539062 × 32768)
    floor (13360.5)     		tx = 13360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657730102539062 × 215)
    floor (0.657730102539062 × 32768)
    floor (21552.5)     		ty = 21552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13360 / 21552 ti = "15/13360/21552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13360/21552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13360 ÷ 215
    13360 ÷ 32768     		x = 0.40771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21552 ÷ 215
    21552 ÷ 32768     		y = 0.65771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57984474} λ = -0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990951588945801))-π/2
    2×atan(0.371223270932346)-π/2
    2×0.355455461087854-π/2
    0.710910922175708-1.57079632675     		φ = -0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13360 KachelY 21552 -0.57984474 -0.85988540 -33.222656 -49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 13361 KachelY 21552 -0.57965299 -0.85988540 -33.211670 -49.267804
    Unten links KachelX 13360 KachelY + 1 21553 -0.57984474 -0.86001052 -33.222656 -49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 13361 KachelY + 1 21553 -0.57965299 -0.86001052 -33.211670 -49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85988540--0.86001052) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dl = 797.139519999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85988540--0.86001052) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dr = 797.139519999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57984474--0.57965299) × cos(-0.85988540) × R
    0.000191749999999935 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 797.14931189671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57984474--0.57965299) × cos(-0.86001052) × R
    0.000191749999999935 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 797.033479711941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85988540)-sin(-0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.57965299--0.57984474)×9.48170130991022e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48170130991022e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48170130991022e-05×40589641000000     		ar = 635393.053476329m²