Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13375 / 21569
↖ ↑ ↗
← S 49.389525°
W 33.057861°		 ← 795.14 m → S 49.389525°
W 33.046875°		 →
↑
795.10 m
↓
↑
795.10 m
↓
S 49.396675°
W 33.057861°		 ← 795.02 m →
632 170 m²		 S 49.396675°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408187866210938 y=0.658248901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408187866210938 × 215)
    floor (0.408187866210938 × 32768)
    floor (13375.5)     		tx = 13375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658248901367188 × 215)
    floor (0.658248901367188 × 32768)
    floor (21569.5)     		ty = 21569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13375 / 21569 ti = "15/13375/21569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13375/21569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13375 ÷ 215
    13375 ÷ 32768     		x = 0.408172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21569 ÷ 215
    21569 ÷ 32768     		y = 0.658233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.18365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57696852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.31646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994211298119965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57696852} λ = -0.57696852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994211298119965))-π/2
    2×atan(0.370015161143457)-π/2
    2×0.354393254569519-π/2
    0.708786509139038-1.57079632675     		φ = -0.86200982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57696852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.057861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86200982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.389525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13375 KachelY 21569 -0.57696852 -0.86200982 -33.057861 -49.389525
    Oben rechts KachelX + 1 13376 KachelY 21569 -0.57677678 -0.86200982 -33.046875 -49.389525
    Unten links KachelX 13375 KachelY + 1 21570 -0.57696852 -0.86213462 -33.057861 -49.396675
    Unten rechts KachelX + 1 13376 KachelY + 1 21570 -0.57677678 -0.86213462 -33.046875 -49.396675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86200982--0.86213462) × R
    0.000124799999999925 × 6371000     		dl = 795.100799999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86200982--0.86213462) × R
    0.000124799999999925 × 6371000     		dr = 795.100799999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57696852--0.57677678) × cos(-0.86200982) × R
    0.000191739999999996 × 0.650913024329885 × 6371000     		do = 795.139429188795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57696852--0.57677678) × cos(-0.86213462) × R
    0.000191739999999996 × 0.650818277052435 × 6371000     		du = 795.023688232181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86200982)-sin(-0.86213462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650913024329885-0.650818277052435)×R²
    abs(-0.57677678--0.57696852)×9.47472774495139e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47472774495139e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47472774495139e-05×40589641000000     		ar = 632169.984216394m²