Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13377 / 21567
↖ ↑ ↗
← S 49.375220°
W 33.035889°		 ← 795.41 m → S 49.375220°
W 33.024902°		 →
↑
795.36 m
↓
↑
795.36 m
↓
S 49.382373°
W 33.035889°		 ← 795.30 m →
632 590 m²		 S 49.382373°
W 33.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408248901367188 y=0.658187866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408248901367188 × 215)
    floor (0.408248901367188 × 32768)
    floor (13377.5)     		tx = 13377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658187866210938 × 215)
    floor (0.658187866210938 × 32768)
    floor (21567.5)     		ty = 21567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13377 / 21567 ti = "15/13377/21567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13377/21567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13377 ÷ 215
    13377 ÷ 32768     		x = 0.408233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21567 ÷ 215
    21567 ÷ 32768     		y = 0.658172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.18353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57658503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.31634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993827802923004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57658503} λ = -0.57658503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993827802923004))-π/2
    2×atan(0.370157087392836)-π/2
    2×0.354518083747755-π/2
    0.70903616749551-1.57079632675     		φ = -0.86176016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57658503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86176016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.375220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13377 KachelY 21567 -0.57658503 -0.86176016 -33.035889 -49.375220
    Oben rechts KachelX + 1 13378 KachelY 21567 -0.57639328 -0.86176016 -33.024902 -49.375220
    Unten links KachelX 13377 KachelY + 1 21568 -0.57658503 -0.86188500 -33.035889 -49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 13378 KachelY + 1 21568 -0.57639328 -0.86188500 -33.024902 -49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86176016--0.86188500) × R
    0.000124840000000015 × 6371000     		dl = 795.355640000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86176016--0.86188500) × R
    0.000124840000000015 × 6371000     		dr = 795.355640000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57658503--0.57639328) × cos(-0.86176016) × R
    0.000191750000000046 × 0.651102534008707 × 6371000     		do = 795.412411319688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57658503--0.57639328) × cos(-0.86188500) × R
    0.000191750000000046 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 795.296652011992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86176016)-sin(-0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651102534008707-0.651007776650759)×R²
    abs(-0.57639328--0.57658503)×9.47573579480609e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47573579480609e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47573579480609e-05×40589641000000     		ar = 632589.713382104m²